Недостатність "класичної" квантової механіки.
За своєю побудовою квантова механіка є істотно нерелятивістської теорією: використовується в рівнянні Шредінгера вираз для оператора Гамільтона є узагальненням класичної формули для енергії. Для безлічі реальних додатків теорії (фізика кристалів, хімія, біологія) вимога малості швидкостей не є істотним обмеженням: діапазон енергій, з якими доводиться мати справу в земних умовах недостатній для розгону об'єктів до релятивістських швидкостей. Проте існує цілий ряд розділів природознавства, розвиток яких зробило актуальним питання про розробку релятивістської квантової теорії. До них насамперед слід віднести розділи фізики, що займаються взаємодією світла з речовиною: зародилася в результаті спроб зрозуміти фізичну природу світла квантова механіка виявилася нездатною адекватно описати ультрарелятивістських частку - фотон. Релятивістська теорія мікросвіту необхідна фізики ядра і елементарних частинок, оскільки вивчаються в її рамках процеси за участю сильних взаємодій супроводжуються обміном великими порціями енергії, що неминуче пов'язано з виникненням високих швидкостей. Космологічні теорії еволюції Всесвіту і Великого Вибуху вимагають розвитку апарату опису речовини в екстремальних (з нашої точки зору) станах. Нарешті, наявність погано пов'язаних один з одним релятивістської і квантової теорій, кожна з яких по-своєму "пояснювала" класичну концепцію, що є граничним випадком кожної з них, неминуче ставило питання про їх об'єднання. Спроби узагальнення квантової механіки і додання їй релятивістськи інваріантної форми робилися буквально з перших кроків її створення, але до цих пір ще не привели до створення закінченої і повністю вільною від внутрішніх протиріч теорії.
S-матриця. Додатковою складністю, притаманною релятивістської теорії є незбереження числа частинок, що беруть участь в процесі. Зокрема це означає, що будь-яка розглянута система належна володіти нескінченним числом ступенів свободи. Оскільки сама процедура вимірювання координат частинки в принципі може приводити до народження нових частинок, вона стає принципово безглуздою. Релятивістська квантова теорія відмовляється не тільки від опису просторового положення мікрооб'єктів, але і від опису процесів за їх участю у вигляді відбуваються послідовно (один за одним) проміжних подій. Розрахунки піддаються лише амплітуди ймовірностей переходів системи з початкового стану при, в якому всі вхідні в неї частки знаходяться так далеко один від одного, що взаємодія між ними дуже малий в одне з допустимих законами збереження кінцевий стан прі, в якому продукти реакції знову є практично вільними об'єктами. Набір амплітуд таких переходів утворює s-матрицю, обчислення якої і є завданням релятивістської квантової теорії.
Рівняння Клейна-Гордона було першою вдалою спробою узагальнення рівняння Шредінгера на випадок релятивістського опису електромагнітних взаємодій мікрооб'єктів. В основі запропонованого виведення лежала ідея замінити нерелятивістських оператор Гамільтона в рівнянні Шредінгера
на його релятивістський аналог, вигляд якого встановлювався на підставі порівняння класичних (не квантово-механічних) виразів для релятивістської і нерелятивістської функцій Гамільтона:
,
де врахована можливість взаємодії зарядів з електричним і магнітним полями, описуваними потенціалами і A.
Основна математична труднощі, що виникають при спробі перевести релятивістську формулу (3) на мову квантово-механічних операторів полягала в тому, що операція витягання кореня з оператора не визначена. Запропонований вихід полягав у переході до рівняння другого порядку, що виникає при зведенні в квадрат операторного аналога рівняння (3), де сам оператор Гамільтона згідно (1) замінювався на оператор диференціювання за часом:
.
Отримане таким чином рівняння могло бути легко протестовано на добре вивченому окремому випадку опису фотона (q = 0, m = 0). Підстановка зазначених значень призводить до звичайного рівняння Д'Аламбера, що описує поширення світла у вакуумі.
Рівняння Клейна-Гордона в даний час вважається правильним релятивістським узагальненням рівнянь квантової механіки, які не враховують наявність спина в мікрооб'єктів. Воно адекватно оісивает поведінку часток з нульовим спіном.